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赫兹接触理论为我们提供了一个强大的工具，用于理解和预测弹性体之间的接触行为。 通过关键公式的推导，我们可以更深入地理解这一理论，并将其应用于实际工程问题中。 1882年赫兹解决了两个曲面弹性体的接触问题（也叫赫兹接触应力）。 这种相关的典型的解决方法为现代接触力学奠定了基础。 在微小的载荷作用下，它们在最初的接触点附近发生变形，致使它们在一个有限的区域上接触，尽管这区域比起两物体尺寸来说是很小的。 对两个弹性体接触处应力状态的令人满意的分析，是由赫兹首先提出的。 本文深入探讨了Hertz椭球接触理论的计算方法，包括接触椭圆的长半轴、短半轴及最大接触压力的计算公式，并通过Matlab程序演示了如何求解接触问题，特别适用于机械工程领域的研究与应用。
1881年赫兹应用牛顿势函数，推导出两弹性圆柱体接触区表面最大接触应力的计算公式。 如图3-48a所示，长度为L，半径为ρ1、ρ2的两平行圆柱体在加载前为线接触，当加上法向力F之后，接触处变形成一个宽度为2s的矩形面积。 德国物理学家 海因里希·鲁道夫·赫兹 1882年发表了关于接触力学的著名文章“关于弹性固体的接触（On the contact of elastic solids）”，正式提出“赫兹接触”，是最早研究接触问题的学者。 赫兹接触理论计算公式基于如下三个假设： 1）相接触的物体为各向同性 (均质)和光滑的弹性体，接触区只发生弹性变形； 2）接触面积比相接触的物体的总表面积小得多，接触面呈椭圆形； 3）接触面上只作用有分布的垂直压力，无摩擦。 本例几何如下图所示，球体半径 R=0.5m,平板长度厚度任意（厚度不影响应力分布即可，下图为半径为R=0.5m，厚度0.2m），材质为钢（杨氏模量E=210GPa，泊松比0.3），平板底面固定，球体受力F，朝向平板。 基于三维弹性体 Hertz 接触理论，推导了满足 Hertz 接触条件的弹性体法向接触刚度通用计算 公式，并结合轮轨几何外形特点，给出了轮轨接触斑大小及接触刚度参数的直接确定方法和数表，并以 LM 车轮 踏面和 CN60 钢轨踏面匹配为例，对比分析了典型工况. 物理方程：由于材料处于弹性阶段且服从 胡克定律，因此接触表面上的应力的变化规律与接触体的应变成线性关系，在应变最大的接触表面中心压力最大。
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